纖維化（fibration）

纖維化是一個就同倫而言表現得像一束平行纖維的映射——一個映射 p: E -> B，你可把它想成基底 B，每一點上方懸掛一份「纖維」的拷貝，黏合得使下方的道路與形變總能提升到上方。它是覆疊空間（其纖維離散）向「纖維可以是整個空間」之情形的同倫論推廣。

其定義性質是同倫提升性質（HLP）。映射 p: E -> B 為纖維化，若給定任意空間 Y、任意映射 Y -> E、以及其投影的任意同倫 H: Y x [0,1] -> B，該同倫都能提升為一個從給定映射出發、且投影為 H 的同倫 Y x [0,1] -> E。換言之：基底中任何形變，連同一個起始提升，都能被帶往上方。對所有 Y 要求 HLP 給出胡列維茨纖維化；只對立方體／CW複形要求則給出較弱但較常見的塞爾纖維化。基點 b_0 上方的纖維是 F = p^{-1}(b_0)；對纖維化，不同點上方的纖維皆同倫等價，故「纖維」在同倫意義下良好定義。覆疊空間恰是纖維離散的纖維化；良好基底上的纖維叢是塞爾（其實是胡列維茨）纖維化。

纖維化是同倫群的核心計算工具，正因同倫提升性質強迫出一條聯繫 pi_n(F)、pi_n(E)、pi_n(B) 的長正合序列。該序列把對三個空間中兩個的認識轉化為對第三個的認識，是幾乎每個非平凡同倫群的計算方式。霍普夫纖維化 S^1 -> S^3 -> S^2、一個空間上的道路-迴圈纖維化、以及萬有主叢，都是這樣推導的。誠實的告誡：「諸纖維同倫等價」需要基底道路連通；在不連通的基底上，不同分支可承載確實不同的纖維，而長正合序列是按道路連通分支陳述的。