纖維化的長正合序列（long exact sequence of a fibration）
一個纖維化把三個空間繫在一起：一個纖維 F 坐落於投影到基底 B 的全空間 E 之內。長正合序列正是「它們的同倫群如何彼此咬合」的精確帳目——一條無窮長的群與映射之鏈，其中纖維、全空間、基底的同倫毫無剩餘地彼此流注。它是實際計算同倫群最常用的單一引擎。
給定一個（塞爾）纖維化 F -> E -> B 並選定基點，存在一條長正合序列 ... -> pi_n(F) -> pi_n(E) -> pi_n(B) -> pi_{n-1}(F) -> pi_{n-1}(E) -> ...，終於 ... -> pi_1(B) -> pi_0(F) -> pi_0(E) -> pi_0(B)。映射 pi_n(F) -> pi_n(E) 與 pi_n(E) -> pi_n(B) 由纖維的包含與投影誘導；連接映射 pi_n(B) -> pi_{n-1}(F) 是邊界映射，藉由提升基底中一份 n-球面的同倫並在纖維中讀出障礙而構造。「正合」意指在每一處，進入映射的像等於離開映射的核——故序列無縫隙，知道任兩個相鄰的群連同映射，便能對第三者確定許多。此構造本身即為定義纖維化之同倫提升性質的一項應用。
運用它是一門手藝：餵入你已知的同倫群，利用正合性逼出未知者。若 E 可縮（所有 pi_n(E) = 0），序列塌縮為同構 pi_n(B) ≅ pi_{n-1}(F)——這正是道路-迴圈纖維化給出 pi_n(X) = pi_{n-1}(Omega X) 的方式，也是霍普夫纖維化給出 pi_3(S^2) = Z 的方式。兩點誠實的告誡：靠近 pi_0 與 pi_1 的尾端只是帶基點集合與群的正合序列，並非交換群的，故那裡的「正合性」較弱（不必是同態之映射的核與像）；且整條序列依賴於基點，在非單連通情形還依賴 pi_1 對纖維同倫的作用——它並非無視基點的免費午餐。
由纖維化 SO(n) -> SO(n+1) -> S^n（旋轉群作用於球面），長正合序列讓你歸納地計算旋轉群的 pi_1：它給出 n >= 3 時 pi_1(SO(n)) = Z/2，這正是自旋群存在性與「皮帶把戲」的代數來源。
旋轉群纖維化加上正合性給出 pi_1(SO(n)) = Z/2——自旋群存在的緣由。
在低端（pi_1, pi_0）的正合性只是帶基點集合的、而非群的，故你不能像對交換群那樣在那裡盲目「消去」；且連接映射的正確性仰賴纖維化的 HLP，這正是該結果對一般滿射不成立的原因。