高階同倫群（higher homotopy group）

基本群記錄迴圈（圓的映射）如何嵌在一個空間中。但何必止於圓？你也能問每個維度的球面如何映入一個空間，在形變意義下。高階同倫群 pi_n 正是做這件事：pi_n(X) 衡量 n-球面映入 X 的同倫類。它們探測每個維度的洞，並且即便到今天，仍是拓樸學中最深刻、最不為人理解的不變量之一。

固定基點 x_0 屬於 X。把 pi_n(X, x_0) 定義為保基點映射 f: (S^n, s_0) -> (X, x_0) 的（相對基點的）同倫類集合。等價地，用 n-立方體的映射 (I^n, I^n 的邊界) -> (X, x_0)，把立方體的整個邊界送到 x_0。群運算藉由沿某一座標把兩個立方體並排堆疊並重新縮放而成——這是迴圈接合的 n 維對應。對 n = 1 這復現 pi_1。n >= 2 時令人矚目的新事實：pi_n 恆為交換。其圖像是埃克曼-希爾頓論證——有兩個或更多自由方向時，你能把一個球面映射繞著另一個滑動，多出的餘地強迫乘積可交換，這在迴圈僅有的單一方向下是不可能的。

高階同倫群威力強大卻惡名昭彰地難。pi_n(S^n) = Z（度），與直覺吻合，但 pi_3(S^2) = Z 已然出人意料（由霍普夫映射生成，那是 3-球面映入 2-球面的一個非平凡映射），而球面的同倫群 pi_{n+k}(S^n) 構成一個錯綜、至今仍未完全知曉的模式，是現代同倫論的核心對象。兩點誠實的告誡：與同調不同，高階同倫群「不」由任何簡單的范坎彭式黏合計算，這正是它們難的大部分原因；而一個空間可以所有高階 pi_n 皆消失卻遠非可縮，只要 pi_1 非平凡（例如圓：n >= 2 時 pi_n(S^1) = 0 但 pi_1 = Z），故「非球面的」（高階群消失）弱於「可縮」。