基本群（fundamental group）

站在空間中一個固定的位置，沿著一條回到出發點的迴圈走出去。在一片平坦的原野上，你總能把任何這樣的迴圈收回到一個點。但在甜甜圈的表面上，一條繞過洞的迴圈無論你怎麼拉扯都收不掉。基本群正是記錄「哪些迴圈能形變成哪些迴圈」的帳本工具，也是一個空間形狀最初、最基本的代數指紋。

固定一個基點 x_0 屬於 X。考慮以 x_0 為基點的迴圈：滿足 gamma(0) = gamma(1) = x_0 的連續映射 gamma: [0,1] -> X。當兩條迴圈相對端點同倫（在兩端都釘在 x_0 的前提下可互相形變）時，視為同一。這些同倫類所成的集合即 pi_1(X, x_0)。它構成一個群：乘積 [alpha][beta] 是「先走 alpha 再走 beta」（接合，以雙倍速度走過）的類，單位元是 x_0 處的常值迴圈，[gamma] 的逆是 [gamma 倒著走]。結合律與逆元律只在同倫意義下成立——而這正是我們改用同倫類的原因，那點伸縮餘地使它們恰好成立。

基本群具函子性：一個保基點映射 f: (X, x_0) -> (Y, y_0) 透過 [gamma] -> [f ∘ gamma] 誘導出同態 f_*: pi_1(X, x_0) -> pi_1(Y, y_0)，並滿足 (g ∘ f)_* = g_* ∘ f_* 與 (id)_* = id。因此同倫等價的空間有同構的基本群，使 pi_1 成為真正的不變量。把基點換到 x_1（在同一道路連通分支內）給出同構 pi_1(X, x_0) ≅ pi_1(X, x_1)，但此同構依賴於所選的基點間道路，一般只在內自同構意義下確定良好——所以對非交換的 pi_1 而言，群本身是典範的，但跨基點的辨認並非如此。pi_1 平凡的空間稱為單連通；pi_1 正是單連通性的精確障礙。