映射的同倫（homotopy of maps）
想像在同樣兩個城鎮之間畫了兩條路。有時你能把一條路在空曠的鄉野間連續地滑動，直到它恰好疊在另一條路上，過程中筆尖不離紙、也不超出地圖範圍。當這種滑動可行時，我們說這兩條路「在形變意義下相同」。映射的同倫正是這個想法的精確版本：若一個連續映射能被連續地形變成另一個，則稱兩者同倫。
精確地說，設 f, g: X -> Y 為連續映射。從 f 到 g 的一個同倫是一個連續映射 H: X x [0,1] -> Y，滿足對所有 x 有 H(x, 0) = f(x) 且 H(x, 1) = g(x)。把第二個座標 t（屬於 [0,1]）想成時間：t = 0 時畫面是 f，t = 1 時是 g，中間 H 給出一段把一者連續形變成另一者的影片。H 在整個乘積 X x [0,1] 上連續，正是讓這個形變「在空間與時間上都連續」的關鍵。我們記作 f ≃ g。通常會固定一個子空間 A，要求對 a 屬於 A 時 H(a, t) 不隨 t 改變，這稱為相對於 A 的同倫，例如在建構 pi_1 時用來釘住基點。
同倫在映射集 X -> Y 上是一個等價關係：它具自反性（時間上不變的常同倫）、對稱性（把影片倒著播，t -> 1 - t）與遞移性（先播一段影片再播另一段，把 [0,1] 的兩半重新參數化並用黏合引理保證連續性）。所得的等價類記作 [X, Y]，是同倫論真正的研究對象。整門學科就是只記到這個關係為止地研究空間與映射——這是一種刻意的模糊化，捨棄了剛性的幾何，卻保留了在彎折與拉伸下仍存留的特徵。
任意兩個進入歐氏空間的映射 f, g: X -> R^n 都經由直線同倫 H(x, t) = (1 - t) f(x) + t g(x) 而同倫，因為 f(x) 與 g(x) 之間的線段落在 R^n 內，且該公式對 (x, t) 連續。
直線同倫：之所以可行，是因為 R^n 是凸的；它也是「可縮的目標空間使所有進入它的映射皆同倫」的原型。
同倫的映射不必在任何一點相等，而在別處差異甚大但某些點取值相同的映射仍可能同倫；反之，兩個映射可以逐點看來幾乎一樣，卻因目標空間有形變跨不過的洞而不同倫。