圓的基本群（fundamental group of the circle）
初等同倫論中最重要的單一計算，是圓上的迴圈由一個整數分類：迴圈繞行的圈數，並計入方向。逆時針繞一圈你便無法解消它；繞一圈再倒繞一圈則兩者抵消。這個整數就是繞數，而命題 pi_1(S^1) ≅ Z 說的正是它是迴圈在形變意義下的完全不變量。
其證明是提升機制的範式例子。使用覆疊映射 p: R -> S^1，p(s) = (cos 2 pi s, sin 2 pi s)，它把實直線纏繞到圓上，整數恰好落在基點 1 的上方。任何以 1 為基點的圓上迴圈 gamma 唯一地提升為 R 中從 0 出發的道路 gamma~（這是覆疊的道路提升性質）。因為 gamma 是迴圈，它的提升終止於某整數 n = gamma~(1)；這個 n 就是繞數，而由同倫提升性質，映射 [gamma] -> n 是良好定義的同態 pi_1(S^1) -> Z。它是滿射（迴圈 s -> n s 繞行 n 次）也是單射（繞 0 圈的迴圈提升為 R 中的一條迴圈，而 R 可縮，故原迴圈零同倫）。因此此映射是同構。
這一個事實驅動了出人意料多的數學。它是二維布勞威爾不動點定理背後的引擎、是代數基本定理的根據（n 次多項式在大圓上繞行 n 次，故必有根）、以及圓盤到其邊界無收縮的原因。在結構上，它是第一個非平凡的覆疊空間計算，也是計算任何由圓搭建之空間的 pi_1 的範本。誠實一提：「繞 n 次」這幅俐落圖像是對的，但嚴格性完全寄於唯一道路提升與同倫提升——少了它們，繞數在同倫類上甚至沒有良好定義。
迴圈 gamma(t) = (cos 4 pi t, sin 4 pi t) 提升為 R 中的 gamma~(t) = 2t，終於 2，故 [gamma] 對應於 Z 中的 2——它繞行兩次。把它與一條順時針繞一圈的迴圈（提升終於 -1）接合，得到一條提升終於 1 的迴圈，故為類 1，恰如 Z 中 2 + (-1) = 1。
繞數在接合下相加，與 Z 中的加法吻合——同構 pi_1(S^1) = Z 的具體呈現。
此結果需要完整的覆疊 R -> S^1；像 n 重自覆疊 S^1 -> S^1 這樣的有限覆疊偵測不出完整的 Z，你無法從有限覆疊讀出 Z。正是萬有覆疊 R（其可縮）強迫了單射性。