映射度（mapping degree）

一個映射把一個閉流形繞另一個閉流形纏繞幾次？從圓到圓的映射可能繞一次、兩次或反向；從球面到球面的映射可能帶著一個摺疊覆蓋它兩次。映射度是單一個整數（或在無定向情形下是單一個位元），捕捉這個淨纏繞數，而值得注意的是它只依賴於映射在連續形變意義下的類，不依賴任何細節。

設 f: M -> N 是閉（緊、無邊）連通 n-流形之間的光滑映射。挑一個正則值 q in N——薩德保證存在一個。原像 f^{-1}(q) 於是是有限個點的集合，在每點附近映射是局部微分同胚。模 2 度就是原像點個數的奇偶性，Z/2 的一個元素；它與正則值 q 無關，且在同倫下不變。若 M 與 N 都定向，可做得更好：對每個原像點帶符號計數，df_p 保定向記 +1、反定向記 -1，帶符號的總和便是定向度，一個同樣與 q 無關且為同倫不變量的整數。

度是相交理論不變量的原型，也是一串古典定理背後的引擎：代數基本定理（一個 n 次複多項式視為球面的自映射其度為 n，故有 n 個根）、毛球定理、布勞威爾不動點定理，以及把向量場指標和與歐拉示性數聯繫的龐加萊-霍普夫定理。誠實的提醒：定向的整數度要求兩個流形都定向且映射在相等維數之間；去掉可定向性你便只剩 Z/2 度。且定義良好性確實倚賴薩德（正則值存在）與同倫不變性的證明——由定義並不明顯不同的正則值給出相同的計數，那是一條定理。