流形的定向（orientation of a manifold）
定向是在整個流形上對「哪一邊算正」所作的一致選擇。在直線上它是一個方向；在曲面上它是順時針對逆時針的一致意義，或等價地是連續選定的「上」面；在更高維它是對基向量排序的一致右手定則。麻煩在於並非每個流形都容許這樣的整體選擇——莫比烏斯帶眾所周知就不行，因為繞一圈走回來會把你的手性翻轉。
精確地說，n 維流形 M 的一個定向，是在每個切空間 T_p M 上光滑地選取一個定向（有序基的一個等價類，兩組基等價當且僅當變基矩陣的行列式為正），且隨 p 連續變化。把這事打包的三種等價方式：(i) 一個圖冊，其座標卡轉移的雅可比行列式皆為正；(ii) 一個處處非零的最高次形式 omega 屬於 Omega^n(M)，稱為體積形式或定向形式；(iii) 在每點對最高外冪 Lambda^n(T*_p M) 的生成元作一致選擇。若這樣的選擇存在，流形就是可定向的，且此時每個連通分量上恰有兩個定向。
定向是積分形式的前提：最高次形式在 M 上的積分只有在 M 已定向後才有定義，因為反轉定向會使積分變號（正如把定積分的方向反過來會使其變號）。因此它被嵌進斯托克斯定理裡，其中邊界繼承一個誘導定向。一個誠實的提醒：可定向性是與任何度量無關的拓樸性質——RP^2 與克萊因瓶不可定向，球面與環面可定向。並請別把可定向性（選擇之存在）與定向（一個具體選擇）混為一談；一個連通可定向流形有兩個定向。
球面 S^2 可定向：向外的單位法向量給出一致的「外側」，等價地（從 R^3 限制下來的）面積形式是一個處處非零的 2-形式。莫比烏斯帶不可定向：試圖選取一致的法向量，繞核心圓一圈後它會指向相反方向，故不存在處處非零的最高次形式。具體地，在 R^n 上標準定向是使 dx^1 ^ dx^2 ^ ... ^ dx^n 為正的那個——軸的右手序。
可定向性是整體的：局部上每個流形都有兩個定向，但莫比烏斯帶無法把它們黏成單一一致的選擇。
定向不需要度量——它是純粹的光滑拓樸，由一個處處非零的最高次形式刻畫。不可定向流形沒有這樣的形式，故不容許對最高次形式作真正的積分（必須改用密度）。可定向與已定向這兩個概念不同：前者是是非題，後者是已選定的一個符號。