微分形式的積分（integration of differential forms）
形式的積分回答了：在彎曲空間上該積分什麼才對、又能在什麼東西上積分它？本理論乾淨的答案是：你在一個 k 維有向（流形的一塊）上積分一個 k-形式。1-形式在曲線上積分，2-形式在曲面上積分，n-形式在整個有向 n 維流形上積分。形式正是被設計成使這個積分無需任何座標或度量選擇就有意義的對象。
精確地說，要在有向 n 維流形 M 上積分一個最高次 n-形式 omega，你先在單一座標卡裡做：那裡 omega = f dx^1 ^ ... ^ dx^n，於是把積分定為 f 在座標定義域上的普通多重積分，並使用與定向相容的座標卡。它有良好定義的原因是換變數定理：在保定向的轉移映射下，拉回恰好產生雅可比行列式，而這正是多重積分所需的因子，故不同座標卡彼此相符。要在整個 M 上積分，單位分解把各座標卡的貢獻縫合起來。更一般地，你藉由把形式拉回再在下游積分，在一個 k 維流形經光滑映射的像上積分 k-形式。
這是整套機器的回報：形式自帶雅可比，故積分自動不依賴座標，而定向提供符號。它直接餵入斯托克斯定理，也餵入把形式與閉鏈配對以計算上同調。一個常見的誤解：積分最高次形式不需要黎曼度量——光有定向就足夠，且形式的積分是拓樸／光滑的配對，而非度量體積。（要積分一個函數，你才需要體積形式、因而需要度量或選定的密度；積分一個形式已經把「測度」包含在內。）
在逆時針定向的單位圓上積分 omega = x dy，以 gamma(t) = (cos t, sin t)、0 <= t <= 2 pi 參數化。拉回：gamma^*omega = cos t d(sin t) = cos t (cos t dt) = cos^2 t dt。於是 omega 在圓上的積分等於 cos^2 t dt 從 0 到 2 pi 的積分 = pi。（由格林定理，這就是所圍面積。）把定向反過來、順時針積分，就得到 -pi——符號恰好追蹤定向。
在曲線上積分 1-形式是藉由拉回到參數區間完成的；反轉定向使符號變號。
你只能在 k 維定義域上積分 k-形式，且定義域必須已定向；次數必須與維數相符。積分一個形式不需要度量，只需要定向——當人們期待一個「體積」而去找一個其實不需要的度量時，這常是混淆的來源。