帶邊流形（manifold with boundary）
普通流形在局部上看起來像整個 R^n——每點都有一小塊與開放空間無從分辨、沒有邊緣。帶邊流形容許某些點坐在邊緣上：在這種點附近，空間看起來像閉半空間，即要求某一座標 >= 0 的 R^n。閉圓盤、實心球、有限長的圓柱是標準例子；它們的邊緣、球面、端圓就是邊界。
精確地說，n 維帶邊流形 M 以半空間 H^n = {(x^1, ..., x^n) : x^n >= 0} 為模型：每點都有一個鄰域，微分同胚於 R^n 的開子集（內點），或微分同胚於 H^n 中與超平面 x^n = 0 相交的開子集（邊界點）。邊界記為 partial M，是邊界點的集合；它本身是一個維數為 n - 1 的無邊流形，且 partial(partial M) 為空。M 的一個定向經由「向外法向量優先」的約定誘導出 partial M 上的典範定向：partial M 的一組有序基為正，當在它前面加上一個向外指的向量後，構成 M 的一組有向基。
帶邊流形是斯托克斯定理的自然定義域，該定理把 M 上的積分與 partial M 上的積分聯繫起來——所以把誘導的邊界定向弄對，正是使格林、高斯與古典斯托克斯定理的符號正確的關鍵。一個要小心之處：邊界 partial M 不是 M 嵌在某個環境空間內的拓樸邊界；它是內蘊的，由局部半空間模型定義。此外，M 的內部（以開 R^n 為模型的點）是一個普通流形，而 partial M 可以為空，這時 M 只是一個普通的閉流形。
閉單位圓盤 D^2 = {(x, y) : x^2 + y^2 <= 1} 是帶邊 2 維流形；其邊界 partial D^2 是單位圓 S^1，一個無邊 1 維流形。實心球 B^3 的邊界是球面 S^2。半開圓柱 S^1 x [0, 1] 的邊界是兩個不相交的圓 S^1 x {0} 與 S^1 x {1}。每種情形下，經「向外法向量優先」在邊界上誘導的定向，恰好就是使斯托克斯定理符號正確成立的那個。
帶邊 n 維流形的邊界是一個無邊的 (n-1) 維流形；partial(partial M) 永遠是空的。
partial(partial M) = 空 是 d^2 = 0 的幾何鏡像；在斯托克斯定理下這兩個事實互為對偶。邊界是來自半空間模型的內蘊概念，並非環境空間中的拓樸界線——開區間 (0,1) 沒有流形邊界，儘管作為 R 的子集它有端點。