外代數（exterior algebra）
從一個普通的向量空間 V 出發，比方說帶有箭頭的 R^3。外代數是一種把這些箭頭相乘的方式，使乘積記住的是「有向面積」或「有向體積」，而不是單一的數。兩個箭頭相乘給出一塊有向的平行四邊形，三個箭頭給出一個有向的盒子。關鍵規則是：交換兩個因子會變號，因此一個向量乘自己等於零——被壓扁到一條直線上的退化平行四邊形沒有面積。
形式上，外代數 Lambda(V) 是 V 的張量代數對關係 v ^ v = 0（對每個 v）取商所得，這迫使 v ^ w = - w ^ v。它分解成直和 Lambda^0(V) + Lambda^1(V) + ... + Lambda^n(V)，其中 Lambda^k(V) 由 k 次元素（k-向量）構成，n = dim V，而 Lambda^k 的維數為 C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)。若 e_1, ..., e_n 是 V 的一組基，則所有 i_1 < i_2 < ... < i_k 的乘積 e_{i_1} ^ ... ^ e_{i_k} 構成 Lambda^k(V) 的一組基。最高層 Lambda^n(V) 是一維的，量度的是帶號的 n 維體積。
這個代數是本領域一切事物的居所。一點處的微分形式是餘切空間 T*_p M 的外代數的一個元素，形式的楔積就是逐點做這個乘法，而定向則是最高外冪中一個非零元素的選擇。一個常見的混淆：Lambda(V) 並非一概可交換，也並非一概反交換——把一個 p 次因子越過一個 q 次因子的符號是 (-1)^{pq}，因此偶次元素與一切可交換。說「楔積反交換」只在 1-形式上才字面成立。
在以 e_1, e_2, e_3 為基的 R^3 中：Lambda^0 = R（純量），Lambda^1 = span{e_1, e_2, e_3}（向量），Lambda^2 = span{e_1^e_2, e_1^e_3, e_2^e_3}（三個有向面積），Lambda^3 = span{e_1^e_2^e_3}（一個有向體積）。維數 1, 3, 3, 1——正是巴斯卡三角形的一列。而 (2 e_1 + e_2) ^ (e_1 - 3 e_2) = -6 e_1^e_2 + e_2^e_1 = -7 e_1^e_2，其係數 -7 恰好是這兩個向量的 2x2 行列式。
兩個平面向量的楔積還原出它們的帶號面積（一個 2x2 行列式）；這正是外代數與行列式本是同一概念的原因。
Lambda^k(V) 與 V 上交錯 k-線性形式的空間，只有在你同時把 V 與 V* 等同（或改用對偶外代數 Lambda^k(V*)）之後才自然地對應。微分形式住在 Lambda^k(T*_p M) 中，即作用在切向量上的交錯多重線性泛函——要當心你指的是哪一份拷貝。