微分形式（differential form）
微分形式就是你拿來積分的東西。1-形式是線積分裡積分號下的那個量（如 f dx + g dy），2-形式是你在曲面上積分的量（一個通量），而最高次形式是你在整個流形上積分以得到體積的量。重點在於：形式天生就是為了被積分而造的——它們已經帶著定向以及換變數的行為，正是這些使積分與座標無關。
精確地說，光滑流形 M 上的一個微分 k-形式是對每一點 p、在切空間 T_p M 上光滑地指派一個交錯 k-張量 omega_p——也就是外叢 Lambda^k(T*M) 的一個光滑截面。在座標卡 (x^1, ..., x^n) 中，它寫成 omega = 對遞增多重指標 I = (i_1 < ... < i_k) 求和的 f_I dx^{i_1} ^ ... ^ dx^{i_k}，其中各 f_I 是光滑函數。0-形式就是光滑函數。所有 k-形式的空間記為 Omega^k(M)，而 Omega*(M) = 所有 Omega^k(M) 的直和，在楔積下是一個分次交換代數。
形式是整個領域的核心對象：外微分 d、拉回、內積、李導數、積分以及斯托克斯定理，全都是 Omega*(M) 上的運算。它們與向量場對偶，且優美地不依賴座標——一個 k-形式可以作用在 k 個向量場上給出一個函數，無需任何度量。一個常見的混淆：k-形式一般而言並不是協變 k-張量場，而只是其中交錯（反對稱）的那些。度量張量 g 是對稱 2-張量，並不是 2-形式。
在 R^2 上，1-形式 omega = -y dx + x dy 沿一個迴圈積分時，給出所圍帶號面積的兩倍；它在點 (x, y) 處對切向量 v = (a, b) 的值為 -y a + x b。在 R^3 上，2-形式 F = E_1 dy^dz + E_2 dz^dx + E_3 dx^dy 打包了一個通量：在曲面上積分它，給出向量場 (E_1, E_2, E_3) 通過該曲面的通量。兩者都是某個外叢的光滑截面。
1-形式在曲線上積分，2-形式在曲面上積分，n-形式在整個 n 維流形上積分——次數恰好對應積分區域的維數。
別把 1-形式與向量場搞混。它們在座標下看起來相像（都是 n 個函數的組），但在換座標時變換方式相反：向量場用雅可比矩陣，1-形式用其逆轉置。沒有度量時，沒有把兩者互相轉換的典範方式。