餘切叢（cotangent bundle）

若 p 處的切向量是速度——一個你能移動的方向——那麼 p 處的餘切向量便是一把線性量規，它從每個速度讀出一個數，例如「當我朝那個方向移動時這個函數增加得多快」。餘切叢 T*M 把所有點處的所有這類量規收集成一個光滑流形，恰好與切叢對偶。

在每點 p 處餘切空間 T*_p M 是對偶向量空間 (T_p M)*，即 T_p M 上的線性泛函。原型的餘切向量是光滑函數的微分 df_p：它把切向量 v 送到方向導數 v(f)。在座標為 x^1, ..., x^n 的座標卡中，微分 dx^1_p, ..., dx^n_p 構成 T*_p M 中與 T_p M 座標基對偶的基，故一般餘向量是 a_i 乘以 dx^i 之和。叢 T*M 的組裝方式與 TM 相同，關鍵差別在於座標變換下分量 a_i 按雅可比矩陣的逆轉置變換——它們是協變的而非反變的——這正是使餘向量與向量的配對與座標無關的原因。

T*M 的截面是 1-形式（餘向量場），是德拉姆複形的第一級，儘管真正的微分形式屬於後面的領域。T*M 承載 TM 所缺的一項結構：一個典範 1-形式（重言或劉維爾形式），從而一個典範辛結構，使每個餘切叢成為古典力學的自然相空間。一個常見的混淆是把「梯度」當作向量——沒有度量時，函數的導數是住在 T*M 中的餘向量 df，只有在選定度量之後你才升其指標而得到 TM 中的梯度向量場。