光滑映射的推前（pushforward）

光滑映射 f: M -> N 把點送到點。推前是它的「線性化」：在每一點它告訴你 f 如何彎折無窮小箭頭，把 p 處的速度轉成 f(p) 處的速度。它是雅可比矩陣的流形版本，也是讓全部微積分從 R^n 遷移到流形上的那唯一一件工具。

在點 p 處，推前（也稱微分）是線性映射 df_p: T_p M -> T_{f(p)} N。最乾淨的定義透過曲線：若 v 是通過 p 的曲線 gamma 在時刻 0 的速度，則 df_p(v) 是像曲線 f 與 gamma 合成在時刻 0 的速度。等價地，在函數上 (df_p(v))(g) = v(g 與 f 合成)，對 N 上每個光滑 g 成立——被推前的向量透過先以 f 拉回來對 N 上的函數求導。在座標中 df_p 恰是 f 各分量偏導數所成的雅可比矩陣，故這個抽象映射一旦選定座標卡就化為一般的多變數微積分。把所有 df_p 組裝起來得到覆蓋 f 的光滑叢映射 df: TM -> TN。

推前是這個領域幾乎每條定理背後的引擎。它在 p 處的秩——df_p 像的維數——分類了 f 的局部行為：秩極大等於 dim N 使 f 成為淹沒，秩極大等於 dim M 使它成為浸入，而 df_p 為同構使 f 成為局部微分同胚（反函數定理）。一點警告：沿 f 推前向量場一般並不在 N 上定義一個向量場——那只有當 f 是微分同胚時才行得通，否則 M 的不同點可能映到 N 的同一點而有不相容的像，或完全錯過 N 的某些點。相對地，餘向量永遠能拉回。