常秩定理（constant-rank theorem）

假設光滑映射 f: M -> N 的微分其秩——它真正移動的獨立方向數——在 p 附近每一點都是同一個常數 k。常秩定理說，儘管 f 可能看起來複雜，在 p 附近與 f(p) 附近存在座標，使 f 做出秩為 k 時可能最笨的事：保留前 k 個座標而把其餘歸零。它是浸入、淹沒與水平集定理背後的結構骨幹。

精確地說，若 df 在 p 的某鄰域上秩恆為 k，則存在以 p 為中心的座標卡與以 f(p) 為中心的座標卡，使 f 具正規形式 (x^1, ..., x^m) -> (x^1, ..., x^k, 0, ..., 0)，其中 m = dim M 而目標落在 R^n 中。證明本質上是反函數定理用兩次：先把 k 個獨立的輸入方向拉直，再把 k 個獨立的輸出方向拉直。秩為常數的假設——而非僅在單點 p 處等於 k——是關鍵；秩在附近只能向上跳（它下半連續），故要求它保持不變是個實在的條件。

兩個著名的特例立即推出。若秩處處等於 dim M（浸入），則 f 在局部看起來像包含映射 (x) -> (x, 0)，故局部把 M 嵌入 N。若秩處處等於 dim N（淹沒），則 f 在局部看起來像投影 (x, y) -> (x)，故其纖維是漂亮堆疊的子流形，水平集是流形。誠實的提醒：此定理純屬局部——它並未說 f 全域上是嵌入或纖維化，只說在每點附近它以標準映射為模型。全域單射性、真性等是另外的假設，這正是浸入未必是嵌入的原因。