黎曼度量（Riemannian metric）

在第一冊裡，你能測量嵌在空間中的曲面上的長度與角度，靠的是借用周圍空間的點積。黎曼度量讓你在流形「自身」上就能做到這件事，不需要任何外圍空間：它在每個切空間上各自配備一個內積，並隨著點光滑地變化。有了它，你就能談論一個切向量有多長、兩個切向量夾角多大，以及如何沿曲線積分出長度。

精確地說，光滑流形 M 上的黎曼度量 g 在每一點 p 指定切空間 T_p M 上的一個正定對稱雙線性形式 g_p，並隨 p 光滑變化。在局部座標 x^1, ..., x^n 下寫成 ds^2 = g_ij dx^i dx^j，其中矩陣 g_ij(p) = g_p(d/dx^i, d/dx^j) 對稱（g_ij = g_ji）且在每一點正定。曲線 gamma 從 a 到 b 的長度是 sqrt(g(gamma', gamma')) 在 [a,b] 上的積分，向量 u, v 的夾角 theta 滿足 cos theta = g(u,v) / (|u| |v|)。配對 (M, g) 稱為黎曼流形。

兩個誠實要點。第一，黎曼度量是你「加在」流形上的內蘊資料，並不等同於把流形嵌入歐氏空間；同一個 M 上可承載無窮多個不等價的度量。第二，這裡的「度量」指的是正定內積場，並非點集拓樸意義下的距離函數——不過 g 確實會誘導一個真正的距離 d(p,q)，定義為連接兩點的曲線長度的下確界。若只要求 g 非退化（允許帶正負號），便得到偽黎曼度量；相對論用的勞侖茲符號差是著名例子，屬於另一個範疇。