列維-奇維塔聯絡（Levi-Civita connection）
/ LAY-vee chee-VEE-tah /
想像你在彎曲曲面上行走，手持一支箭，試圖在移動時讓它「指向同一方向」。在平坦平面上這很顯然；在球面上卻不然，因為遠處沒有「同一方向」的整體概念。列維-奇維塔聯絡正是度量強加給你的、運送與微分向量的精確規則——比較鄰近點切向量的典範方式，使長度與角度得以保持，且不引入任何人為的扭轉。
它是基本定理保證的唯一聯絡 nabla：度量相容（nabla g = 0）且無扭轉（nabla_X Y - nabla_Y X = [X, Y]）。具體而言，nabla_X Y 是一個新的向量場，即 Y 沿方向 X 的協變導數。在座標下其分量由克里斯多福符號 Gamma^k_ij 透過 nabla_(d/dx^i) (d/dx^j) = Gamma^k_ij (d/dx^k) 來支配。相應的平行移動沿曲線運送一個向量，同時使其沿曲線的 nabla 為零；因為 nabla 度量相容，平行移動是切空間之間的等距，保持長度與角度。
它出現在哪裡：測地線是速度向量平行於自身的曲線（nabla_(gamma') gamma' = 0）；曲率是二階協變導數不可交換的度量；而一切內蘊黎曼幾何都建立在 nabla 之上。一個值得釐清的微妙之處：列維-奇維塔／黎曼指數映射 exp_p（由 nabla 的測地線造出）與李群指數映射 exp: g -> G 是「不同」的構造，二者僅在李群上的雙不變度量時才一致。切勿混為一談。
把一個切向量沿球面三角形平行移動（例如從北極指向某條經線出發，滑到赤道、沿赤道走、再回到北極）。當你回到起點時，箭頭已旋轉了一個等於三角形所圍立體角的角度——這是球面曲率的可見印記，完全編碼在列維-奇維塔聯絡之中。
繞迴圈的和樂：用列維-奇維塔聯絡作平行移動會把向量轉動一個量度所圍曲率的角度。
黎曼指數映射 exp_p 與李群指數映射 exp: g -> G 是不同構造；二者僅在雙不變度量時一致。除非已聲明度量相容與無扭轉，否則切勿假定流形上的「聯絡」就是列維-奇維塔聯絡。