叢上的協變導數（covariant derivative on a bundle）

你如何對向量叢的截面微分？你想問一個向量場隨著移動如何變化，但不同點的向量住在不同的纖維裡，所以樸素的差商在不同向量空間中相減——這是無意義的。協變導數修補了這點：它是一條規則 nabla，沿方向 X 對截面 s 微分，產生另一個截面 nabla_X s，並內建一個修正，使答案良好定義且對 X 是張量性的。

精確地說，向量叢 E -> M 上的協變導數（或 Koszul 聯絡）是一個映射 nabla，把向量場 X 與截面 s 送到截面 nabla_X s，它對 X 線性且張量性、對 s 可加，並對函數 f 服從萊布尼茲律 nabla_X (f s) = (X f) s + f nabla_X s。在局部標架 e_1, ..., e_k 中，它由聯絡係數（一個 1-形式矩陣，即 omega^a_b）經 nabla e_b = omega^a_b e_a 記錄；在座標下這與克里斯多福型符號是相同的資料。實作配方：要對 s = s^a e_a 微分，寫 nabla_X s = (X(s^a) + omega^a_b(X) s^b) e_a——分量的普通導數，加上補償標架轉動的聯絡修正。這與相伴標架叢上的聯絡 1-形式是同一個聯絡，只是從向量叢這一側來看。

協變導數使叢上的幾何成為可能：當截面沿曲線的協變導數消失時，它沿該曲線平行（這就是平行移動）；測地線是速度向量平行的曲線；而二階混合協變導數不可交換的失敗就是曲率，nabla_X nabla_Y - nabla_Y nabla_X - nabla_{[X,Y]} = R(X,Y)。一個值得言明的警告：裸的向量叢上沒有典範的協變導數——你必須選一個，而選擇之空間是仿射的（任兩個相差一個取值於 End(E) 的 1-形式）。列維-奇維塔聯絡是黎曼流形切叢上特殊的典範選擇，它屬於黎曼幾何，不在此處。