聯絡形式（connection form）

在彎曲空間上沿曲線搬移一個向量，然後問：它「保持不變」了嗎？在平坦平面上答案顯然——保持分量不動。在球面上則不然，因為不同點的切空間是不同的平面，沒有典範方式去比較它們。聯絡正是那條缺失的規則：它告訴你如何辨認鄰近的纖維，亦即如何對截面微分、如何搬移它們。打包這條規則有兩種等價方式——作為方向的分裂（水平對垂直），以及作為取值於對稱代數的 1-形式。

在主 G-叢 P 上，一點處的垂直方向是切於纖維的那些（在 G 之內移動），而聯絡在每一點選定一個互補的水平子空間，使其光滑且 G-不變地變化。等價地，聯絡是 P 上取值於李代數 g 的 1-形式 omega，滿足：(i) 在垂直向量上重現群作用的生成元，(ii) 在右 G-作用下依伴隨表示變換。水平空間即 ker(omega)，「水平」意指「移動而不旋轉纖維」。在局部平凡化中，omega 拉回為底空間上一個取值於 g 的 1-形式 A——即物理中的規範勢——而以 h: U -> G 更換平凡化會依非齊次律 A -> h^{-1} A h + h^{-1} dh 變換它，其中 dh 項正是區分聯絡與普通張量之所在。

聯絡形式是叢幾何的核心物件：它定義平行移動（把曲線水平地提升）、協變導數（微分時減去聯絡的修正）、曲率（水平子空間無法可積的失敗），以及完整性／和樂（繞迴路的淨搬移）。一個誠實的微妙處：聯絡不是張量——它的變換律帶有額外的 h^{-1} dh 項，所以「聯絡為零」是個依賴於平凡化的陳述，且只在局部有意義。然而聯絡之差是張量（底空間上取值於 g 的 1-形式），所以聯絡構成一個仿射空間。