測地線方程（geodesic equation）
測地線是彎曲空間中直線的類比：當沒有側向力推動時粒子所循的路徑，或是局部上使長度最小的路徑。測地線方程精確地刻畫了「在空間允許範圍內走得盡量直」——一條相對於聯絡從不轉彎的曲線，故其速度沿自身被平行移動。
從內蘊角度看，曲線 gamma(t) 是測地線，若其加速度協變地為零：nabla_(gamma') gamma' = 0，即速度沿曲線平行。在座標下這是方程組 d^2 x^k/dt^2 + Gamma^k_ij (dx^i/dt)(dx^j/dt) = 0（對每個 k），一個完全由克里斯多福符號驅動的二階常微分方程。給定起點 p 與初速度 v 屬於 T_p M，常微分方程的存在唯一性定理產生唯一的測地線，滿足 gamma(0) = p、gamma'(0) = v，至少在小區間上如此。注意參數化很重要：此方程給出等速（仿射參數）的測地線；若以非仿射方式重新參數化，曲線可能描出測地線的像卻不滿足此方程。
它所在之處：測地線是列維-奇維塔聯絡的自平行曲線，而在完備流形上，是局部長度最小的曲線。本條目談的是自平行常微分方程本身；變分故事——測地線是長度或能量泛函的臨界點，以及它們何時真正最小化的分析——屬於變分法，而測地線是否能無限延伸的整體問題屬於比較幾何（霍普夫-里諾）。誠實之言：測地線僅「局部」最小——比半個球面長的大圓弧是測地線，卻不是其端點之間的最短路徑。
在圓球面上，測地線恰好是大圓。東京到紐約的航線在平面地圖上看似彎曲，實則是大圓測地線：局部上的最短路線。然而若繼續越過對蹠點，同一個大圓便不再最小化，儘管它仍然滿足測地線方程。
大圓處處滿足測地線方程，但只在到達對蹠點之前才最小化長度。
滿足測地線方程（一個自平行常微分方程）與成為長度最小者是不同的：每個最小者都是測地線，但測地線只局部最小化。最小化／變分刻畫是另一個獨立的整體故事。