克里斯多福符號（Christoffel symbols）
/ KRIS-toff-el /
當你在座標卡中寫出列維-奇維塔聯絡時，你需要一些數字告訴你座標基向量隨著移動如何扭轉。那些數字就是克里斯多福符號：協變導數的明確座標分量。它們是把抽象聯絡轉成你真正能用以計算測地線與曲率的公式的記帳工具。
在座標 x^1, ..., x^n 下，克里斯多福符號 Gamma^k_ij 由 nabla_(d/dx^i)(d/dx^j) = Gamma^k_ij (d/dx^k) 定義。對列維-奇維塔聯絡，它們直接由度量算出：Gamma^k_ij = (1/2) g^kl ( d_i g_jl + d_j g_il - d_l g_ij )，其中 g^kl 是逆度量矩陣，d_i 表示對 x^i 的偏導數，重複指標求和。它們對下方一對指標對稱，Gamma^k_ij = Gamma^k_ji，正因為聯絡無扭轉。使用方法：代入度量係數、求導、與逆度量縮並，便得出各個 Gamma。
關鍵的誠實：克里斯多福符號「不是」張量的分量。在座標變換下它們會多出一個非齊次（二階導數）項，因此可以在任一單點上使其消失（法座標），卻在另一座標卡中非零。這就是為何曲率（它「是」張量）由 Gamma 的導數與乘積以使非張量部分相消的方式構成。兩本教科書對指標的排序或正負號也可能不同，所以在信任任何克里斯多福公式之前，務必查看該來源的約定。
對平坦平面上的極座標 ds^2 = dr^2 + r^2 dtheta^2，非零的克里斯多福符號為 Gamma^r_(theta theta) = -r 與 Gamma^theta_(r theta) = Gamma^theta_(theta r) = 1/r。把它們代入測地線方程，便重新得到直線（以極座標寫出）就是測地線——儘管平面是平坦的，而笛卡兒座標卡下所有 Gamma 都為零。
平坦空間上非零的克里斯多福符號是彎曲座標的產物，而非曲率本身。
克里斯多福符號不是張量分量：它們在平坦空間（彎曲座標）上可非零，也可在任一點上歸零（法座標）。由它們構成、使非張量項相消的曲率，才是真正與座標無關的量。