黎曼曲率張量（Riemann curvature tensor）
/ REE-mahn /
你如何從空間「內部」判斷它是真彎曲、還是只是用了彆扭的座標？答案：把一個向量沿一個微小迴圈平行移動，看它回來時是否被轉動了。黎曼曲率張量正是這個「每單位面積轉動量」的精確度量——一個空間是否平坦的精確、與座標無關的障礙。它是主對象，截面曲率、里奇曲率與純量曲率都由它導出。
它由 R(X, Y) Z = nabla_X nabla_Y Z - nabla_Y nabla_X Z - nabla_([X,Y]) Z 定義，即二階協變導數不可交換的程度。在座標下 R = R^l_ijk 涉及克里斯多福符號的導數與乘積。作為 (0,4) 型張量 R(X,Y,Z,W) = g(R(X,Y)Z, W)，它具有豐富的對稱性：對第一對反對稱，R(X,Y,Z,W) = -R(Y,X,Z,W)；對第二對反對稱；配對對稱 R(X,Y,Z,W) = R(Z,W,X,Y)；第一（代數）比安基恆等式 R(X,Y)Z + R(Y,Z)X + R(Z,X)Y = 0；以及其協變導數上的第二（微分）比安基恆等式。這些對稱性把其獨立分量數削減到 n^2(n^2-1)/12——在二維恰為 1（即高斯曲率），在四維為 20。
意義與誠實。R 處處為零，當且僅當流形局部等距於歐氏空間，故它是度量的完整局部不變量。兩個警告。第一，約定不同：do Carmo、Lee 與 Kobayashi-Nomizu 在正負號與指標順序上彼此不一致，所以沒有任何曲率公式是「那個」公式——務必聲明你的約定。第二，黎曼曲率是「完整」的局部資訊；它的跡（里奇、純量）丟棄了資訊。里奇平坦或純量平坦的空間未必平坦，故切勿把較弱的曲率條件升級為黎曼張量。
把一個向量沿一個小測地四邊形平行移動，邊長為 epsilon，方向為 X 與 Y。到主項，向量回來時被 epsilon^2 R(X,Y) 作用而旋轉。在半徑 a 的球面上回傳的旋轉為正（向量朝一個方向擺）；在鞍面上為負；在平坦平面上為零。張量 R 就是這個差異的精確「每面積」版本。
繞無窮小迴圈的和樂等於面積乘以曲率：R 就是每面積的旋轉缺陷。
R 的正負號與指標約定在各教科書間不同（do Carmo、Lee、Kobayashi-Nomizu），故沒有單一公式是典範的——務必聲明你採用的。而 R 嚴格強於其跡：里奇或純量曲率為零並「不」蘊含流形平坦。