比安基恆等式（Bianchi identity）
/ bee-AHN-kee /
比安基恆等式是曲率僅僅因為它源自一個聯絡，就必須自動滿足的約束。你不去強加它；一旦你對結構方程微分，它就掉出來了。直觀上它說曲率作為一種通量是「守恆」的——它沒有自己的源——這就是為什麼在物理中它免費地成為馬克士威方程的一半，無需任何場方程。
精確地說，對主叢上帶曲率 Omega = d omega + omega ^ omega 的聯絡 omega，（微分的，或第二）比安基恆等式陳述曲率的協變外導數消失：D Omega = d Omega + [omega, Omega] = 0。看出它的清爽方式：對結構方程 Omega = d omega + omega ^ omega 施以 d 並用 d^2 = 0；各項重組正好成為 D Omega = 0。在帶勢 A 與場強 F 的規範下它讀作 dF + [A, F] = 0，緊湊地寫成 D_A F = 0。對阿貝爾聯絡（F = dA）這收縮為 dF = 0，由 d^2 = 0 自動成立。另外，在切叢上還有一個第一（代數的）比安基恆等式，即對稱性 R(X,Y)Z + R(Y,Z)X + R(Z,X)Y = 0，它對無撓聯絡成立——這與微分的那個是不同的陳述。
為何重要：比安基恆等式正是使陳-韋伊理論奏效之所在。因為曲率是協變閉的，它的不變多項式產生真正閉的微分形式，其德拉姆類就是示性類；少了 D Omega = 0，那些形式就不會是閉的，整個構造便崩潰。在規範理論中 dF + [A,F] = 0 是場方程無源的那一半（楊-米爾斯方程 D * F = J 是動力學的另一半）。一個警語：把兩個比安基恆等式分清——代數的第一恆等式是繫於撓率消失的逐點對稱，而微分的第二恆等式是對任何聯絡之曲率都成立的守恆律。
在電磁學中 F = dA 是個 2-形式，而比安基恆等式就是 dF = 0。寫成分量得 partial_[mu F_{nu rho]} = 0，這正是齊次的馬克士威方程：磁的高斯定律（無磁單極）與法拉第感應定律。這些恆等成立，與電荷或電流無關，因為它們是幾何恆等式，而非動力學定律。
馬克士威方程的一半就是比安基恆等式 dF = 0——是幾何，而非物理輸入。
比安基恆等式有兩個，且容易混淆：第一（代數）恆等式 R(X,Y)Z + R(Y,Z)X + R(Z,X)Y = 0 是個要求撓率為零的逐點對稱，而第二（微分）恆等式 D Omega = 0 是對每個聯絡都成立的協變閉性。陳-韋伊理論依賴第二個；曲率張量的對稱性則用第一個。