楊-米爾斯泛函（Yang-Mills functional）
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楊-米爾斯泛函問：在所有給叢配上聯絡的方式中，哪些是「盡可能平坦」的？它給每個聯絡指派一個數——其曲率的總平方大小——而使這個數極小或臨界的聯絡，就是幾何上與物理上偏好的那些。在物理中這是規範理論的作用量，而電磁力、弱核力與強核力全都由極小化（極值化）它來支配。
精確地說，在黎曼流形 M 上固定一個 G 緊（故其李代數有不變內積）的主 G-叢。對帶曲率 2-形式 F 的聯絡 A，楊-米爾斯泛函是 YM(A) = |F|^2 在 M 上的積分，即曲率的 L^2 範數平方，其中 |F|^2 把度量的霍奇星算子與李代數上的不變內積結合起來。臨界點是滿足楊-米爾斯方程 D_A * F = 0（曲率的協變散度消失）的聯絡，它與恆真的比安基恆等式 D_A F = 0 一起構成一個耦合系統——馬克士威方程的非阿貝爾推廣。規範變換（叢的自同構）使 YM 不變，所以人們其實在「聯絡空間模去規範」上研究這個泛函。
楊-米爾斯泛函是幾何、拓樸與物理的交匯點。在維數 4 中它有特殊結構：曲率分裂為自對偶與反自對偶部分，YM 以一個拓樸數（龐特里亞金／瞬子數）為下界，而此下界恰由（反）自對偶聯絡——瞬子——達到。唐納森由這些解的模空間建造出革命性的光滑 4-流形不變量。一個誠實的警語：極小子未必總是存在——在維數 4 中 YM 的共形不變性容許曲率集中並「冒泡逸出」，所以變分法很微妙；而量子楊-米爾斯質量間隙問題（量子化理論的存在性與譜間隙）仍是個未解的千禧年大獎問題，與此處所述的古典變分故事相當分離。
在 4-流形上，把曲率寫成 F = F^+ + F^-（自對偶加反自對偶部分）。則 YM(A) = (|F^+|^2 + |F^-|^2) 的積分，而第二陳（瞬子）數正比於 (|F^+|^2 - |F^-|^2) 的積分。相加相減顯示 YM >= 8 pi^2 |k|，等號成立的充要條件是 F^+ = 0（一個反自對偶瞬子）或 F^- = 0。所以每個拓樸類中的絕對極小子，恰是（反）自對偶聯絡——一階方程的解，遠比完整的二階楊-米爾斯方程容易。
在維數 4 中，瞬子藉由求解一階（反）自對偶方程，在一個拓樸類內極小化楊-米爾斯。
楊-米爾斯極小子未必存在：在維數 4 中泛函是共形不變的，所以極小化序列可把曲率集中到一個縮小的球內並「冒泡」，把能量丟給一點——極限可能是一個聯絡加上點奇異性，而非光滑的極小子。這種非緊性是真正的分析困難，與未解的量子質量間隙問題是分開的。