唐納森不變量（Donaldson invariants）
/ DON-uld-sun /
兩個四維空間可以在拓樸上相同——同胚、在連續形變的意義下相同——卻作為光滑流形真正不同，沒有任何光滑方式把它們等同起來。偵測這種微妙差別看似無望，直到 Simon Donaldson 約於 1983 年找到一種從物理製造數的方法：在流形上計數楊-米爾斯方程的解。這些計數，即唐納森不變量，在光滑形變下不變，卻能分辨光滑結構，並揭示了四維比任何其他維度都更狂野。
以下是構造的綱要。固定一個光滑閉可定向 4-流形 X，配上一個主 SU(2)-（或 SO(3)-）叢與一個黎曼度量。考察此叢上曲率 F_A 反自對偶的聯絡 A，*F_A = -F_A——這是 ASD 或瞬子方程，是楊-米爾斯能量的絕對極小。在差規範的意義下，ASD 聯絡的空間是模空間 M，一個有限維空間，其維數由一個指標公式計算。Donaldson 的想法：M 帶有自然的上同調類（由萬有叢建構），你把這些類對 M 積分或配對以得到數。在處理完技術上的痛苦後——M 可能非緊且奇異——這些數與所用的度量無關（定義 ASD 需要度量，但答案不依賴它），故它們是 X 的光滑不變量。把它們打包在一起便構成唐納森多項式，一個在同調 H_2(X) 上的多項式函數。
回報極為壯觀。Donaldson 的可對角化定理限制了光滑 4-流形可以有哪些交截形式，立即（經由 Freedman 的分類）產生了根本不帶任何光滑結構的拓樸 4-流形，而這些不變量分辨同胚流形上的光滑結構——四維中光滑 h-配邊定理的失效、以及奇異 R^4 的存在，都是這圈想法的下游。誠實的提醒很沉重。其一，嚴格定義這些不變量需要嚴肅的規範理論分析（經由 Uhlenbeck 的緊性、擾動以達成橫截性、模空間的定向）；這「計數」並不天真。其二，唐納森理論在計算上大致被 1994 年的塞伯格-威滕理論取代，後者遠為易於處理（阿貝爾、緊模空間）且猜想上等價（Witten 連結二者的猜想）；對實際的四維流形問題，人們現在通常訴諸塞伯格-威滕。唐納森不變量仍是歷史上樞紐性、概念上豐富的原創。
Donaldson 的第一個定理：若一個光滑閉 4-流形有正定的交截形式，該形式必須在整數上可對角化（等價於標準形式）。Freedman 曾建構出帶有不可對角化定形式（例如 E8）的拓樸 4-流形；Donaldson 的瞬子計數顯示這些根本不容許任何光滑結構——一個無法光滑化的拓樸流形。
瞬子計數禁止光滑 4-流形帶有 E8 形式，產生一個沒有光滑結構的拓樸流形。
唐納森不變量是光滑（微分同胚）不變量，而非同胚不變量——這正是重點：它們分辨同胚型看不見的光滑結構，且需要仔細的緊性與橫截性，故「計數」一詞藏著大量分析。