法座標（normal coordinates）
如果你想讓彎曲空間在選定點附近看起來盡量平坦——使得就在那裡，你的公式退化為普通歐氏公式——你就用法座標。它們是這樣的座標系：通過選定點的測地線變成通過原點的直線，而度量在該點與歐氏度量一階相符。它們是幾何學家「在一點上工作」的標準方式。
建構方法：固定 p 屬於 M，選 T_p M 的單位正交基 e_1, ..., e_n，並使用指數映射。p 附近的一點得到座標 (a^1, ..., a^n)，使得 exp_p(a^1 e_1 + ... + a^n e_n) 即為該點——亦即你讀出一個切向量的分量，並沿其測地線推出去。在這些座標下，兩個乾淨的事實在 p 處（且僅恰好在 p）成立：度量是單位矩陣，g_ij(p) = delta_ij，而所有克里斯多福符號為零，Gamma^k_ij(p) = 0。等價地，度量的一階導數在 p 處為零，故度量到二階為歐氏的；二階修正項恰好是曲率，g_ij = delta_ij - (1/3) R_ikjl a^k a^l + ...。
為何它們不可或缺：許多張量恆等式最容易藉由在一點選法座標來證明，在那裡雜亂的克里斯多福項消失，計算後再指出結果是張量性的因而與座標無關。誠實的提醒在於「在 p 處」這個片語：你能在「一」點殺掉 g 的一階導數，但除非曲率確實為零，否則無法殺掉「二」階導數。那個殘餘的二階項就是與座標無關的、平坦性的障礙——曲率正是法座標無法熨平的東西。
在球面上，以北極為中心的法座標本質上（至多差一個縮放）就是聯合國旗幟所用的方位等距投影：測地線（經線）是從中心射出的直線，而離極點的距離沿徑向讀出。隨著向外移動而增大的變形，正是曲率的可見足跡，即法座標無法消除的那一項。
方位等距投影就是球面在極點的法座標卡；向外的變形即是曲率。
法座標只在單一點將度量熨平到「一」階（在該點 g_ij = delta_ij、Gamma^k_ij = 0）。二階項是曲率，任何座標變換都無法移除——這正是曲率為內蘊量的精確含義。