黎曼幾何基本定理（fundamental theorem of Riemannian geometry）
度量告訴你長度與角度，但要在彎曲空間上做微積分，你還需要對向量場求導——把一點上的向量與鄰近點的向量作比較。設定這樣的導數（聯絡）有許多方式，而先驗地，度量並不挑出某一個。基本定理說它其實挑得出，而且唯一：只要你要求兩個自然的相容條件，在所有聯絡中，恰好有一個既尊重度量又沒有扭轉。
精確地說：在任何黎曼流形 (M, g) 上，存在唯一的仿射聯絡 nabla，稱為列維-奇維塔聯絡，它（1）與度量相容，即 nabla g = 0，等價於 X(g(Y,Z)) = g(nabla_X Y, Z) + g(Y, nabla_X Z)，故平行移動保持內積；且（2）無扭轉（對稱），即 nabla_X Y - nabla_Y X = [X, Y]。存在與唯一性源自科斯祖爾公式，它明確解出 nabla：2 g(nabla_X Y, Z) = X g(Y,Z) + Y g(X,Z) - Z g(X,Y) + g([X,Y],Z) - g([X,Z],Y) - g([Y,Z],X)。右側只用到 g 與李括號，故 nabla 被唯一決定。
為何這是基礎性的：它意味著度量「本身」就決定了如何求導，因而測地線、曲率與一切內蘊幾何都由 g 推出，無需任何額外選擇。它是高斯絕妙定理推廣到所有維度的嚴格引擎。不過要誠實面對前提——去掉無扭轉，你會得到一整族帶扭轉的度量聯絡（某些物理用到）；去掉度量相容，你便失去聯絡與長度之間的聯繫。此定理的力量正在於「兩個條件合起來」才恰好釘住唯一一個聯絡。
取裝有平坦度量的普通 R^n。科斯祖爾公式給出 nabla_X Y = 普通的方向導數（在標準座標下所有克里斯多福符號都為零），所以平坦空間上唯一的列維-奇維塔聯絡就是平常的微積分導數——正如你所期望。
在平坦空間上，唯一的度量相容無扭轉聯絡退化為普通求導。
唯一性同時需要度量相容「與」無扭轉；任一條件單獨成立都會留下無窮多個聯絡。此定理並非鬆散地說「度量給出一個聯絡」，而是這兩條特定公理恰好決定唯一一個。