懷特海定理（Whitehead theorem）
/ WYT-hed /
兩個在每個維度都有相同同倫群的空間，感覺上理應在形變意義下相同。懷特海定理說：是的，但前提是你對假設要誠實。陷阱在於抽象地匹配同倫群並不夠——你需要單一個映射來實現這個匹配，且需要空間是 CW複形。有了這些但書，這定理便是那期盼已久的逆命題，讓你能藉由檢驗同倫群來認證一個同倫等價。
若映射 f: X -> Y 在所有同倫群上誘導同構，則稱它為弱同倫等價：對每個 n >= 0 與每個基點，f_*: pi_n(X, x_0) -> pi_n(Y, f(x_0)) 是同構（在 pi_0 上是雙射）。懷特海定理陳述：若 X 與 Y 是 CW複形且 f 是弱同倫等價，則 f 是真正的同倫等價——存在同倫逆 g 使 g ∘ f ≃ id 且 f ∘ g ≃ id。其證明仰賴胞腔逼近與 CW 對的同倫延拓性質，沿骨架逐胞腔地建出逆映射與諸同倫。去掉 CW 假設則結果失效；若你只知群抽象地匹配而沒有誘導同構的映射，也失效。
這定理正是 CW複形成為同倫論天然範疇的原因，也是「算出所有同倫群」成為有意義策略的原因：一個在每個 pi_n 上誘導同構的 CW複形映射，與一個等價同樣好用。它與纖維化的長正合序列（用以驗證 f_* 為同構）搭配成標準工具組。兩點誠實的告誡常絆倒人。第一，弱等價是關於一個「映射」的——兩個同倫群抽象同構但無映射實現該同構的 CW複形，不必同倫等價（有經典反例）。第二，懷特海需要的是同倫群而非同調：單連通 CW複形間誘導同調同構的映射也是等價（一個同調版懷特海定理），但對非單連通空間，同調同構確實較弱，該形式的定理是錯的。
要證明一個對所有 n 有 pi_n(X) = 0 的 CW複形 X 可縮，構造一個從一點到 X 的映射（選定基點）；它在所有 pi_n 上誘導同構（兩邊皆平凡），故由懷特海定理它是同倫等價、X 可縮。這正是「所有同倫群消失 + CW」蘊含可縮的乾淨理由。
懷特海把「所有 pi_n 消失」轉成「可縮」——但僅對 CW複形成立。
定理需要一個「誘導」同構的映射，而非僅是抽象同構的群：存在某些 CW複形（如某些乘積對楔和）在每個次數都有同構的同倫群卻「不」同倫等價，因為沒有單一個映射實現那些同構。