霍普夫代數與量子群
本原元素
在霍普夫代數的元素中，有些像「無窮小」的群元素——若群是李群，你能沿之移動的方向。這些是本原元素。類群元素在餘積下複製自身（有限對稱），而本原元素拆為自身張量一加一張量自身，這恰是求導的萊布尼茲法則。本原元是結構中線性化的加性部分。
形式地，在雙代數 H 中，若 Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x 則稱元素 x 為本原的。用餘單位公理強制 ε(x) = 0。本原元集 P(H) = { x : Δ(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x } 是線性子空間，且對換位子括號 [x, y] = xy - yx 封閉，故 P(H) 是李代數。在霍普夫代數中對極在本原元上作用為 S(x) = -x。
這是李代數與群字典的代數來源。對李代數 g 的泛包絡代數 U(g)，本原元恰是 g 自身（特徵零時，由米爾諾–穆爾定理），從其包絡霍普夫代數恢復 g。在特徵 p 中會出現額外本原元，如 p 次冪，這正是那裡要過渡到限制李代數的原因。
在 x 為本原元的多項式霍普夫代數 k[x] 中，特徵 0 時唯一的本原元是 x 的標量倍；特徵 p 時冪 x^{p^n} 也成為本原元，因為那裡 (a + b)^p = a^p + b^p。這是在正特徵中推理本原元時反覆出現的陷阱。
又稱
另見