霍普夫代數與量子群
類群元素
若本原元素是無窮小方向，則類群元素是藏在霍普夫代數內的真正「群點」。類群元素餘積為自身的張量平方——它在兩側各拆成自身的完美副本——這恰是群代數餘積下真正群元素的行為。類群元是封裝在代數內的離散對稱。
形式地，餘代數中的元素 g 稱為類群的，若 Δ(g) = g ⊗ g 且 ε(g) = 1；第二個條件排除平凡情形 g = 0。在霍普夫代數中每個類群元素自動可逆，逆為 S(g)，且類群元素集 G(H) 在乘法下構成群。此外，不同的類群元素總是線性無關。
對群代數 k[G]，類群元素恰是坐落於 k[G] 內的 G 的元素，故 G(k[G]) = G 原原本本地恢復原群。對代數群的坐標霍普夫代數 O(G)，類群元素對應特徵標 G -> k^×，即一維表示。所以「類群」在對偶的一側抓住群元素，在另一側抓住特徵標。
在 k[Z/2Z] = k[g]/(g² - 1) 中，元素 1 與 g 是類群的：Δ(g) = g ⊗ g，ε(g) = 1，且 g² = 1 故 g^{-1} = g = S(g)。{1, g} 一起是群 Z/2Z，作為 G(k[Z/2Z]) 恢復。
k[Z/2Z] 的類群元素重建群 Z/2Z。
又稱
另見