帕累托嚴重度模型
/ pa-RAY-toh /
你大概聽過一個粗略的說法：「最大的20%案件造成了80%的成本。」這正是帕累托分布的精神，它得名於經濟學家維爾弗雷多·帕累托。在保險中，當少數極大損失主導了總額時，它就是刻畫理賠嚴重度的經典模型——這正是責任險、大額財產險和再保險裡所見的重尾行為。
帕累托嚴重度認為：單筆損失超過金額x的概率按x的某次冪下降，而非急劇跌落：大致上，生存概率表現得像(theta/(x+theta))^alpha，其中theta是尺度參數，alpha是控制尾部厚度的形狀參數。alpha越小，尾部越重——大額損失相對更可能。一個引人注目的特徵是：若alpha為1或更小，理論均值為無窮大；若alpha為2或更小，方差為無窮大。帕累托還有一個對保險很巧妙的性質：超過某個門檻的金額（超出免賠額或起賠點的部分）的分布本身仍是帕累托，這使超額損失再保險的定價變得便於處理。
帕累托是風險高層——也正是再保險公司和資本模型所在之處——的主力模型。由於它的尾部由alpha掌控，把這單一形狀參數估準極其重要，也出了名地難：能釘住尾部的數據，恰恰是你為數不多的那些罕見大額理賠。兩點誠實的提醒：用主要由中小額理賠擬合出的帕累托，在最要緊的尾部可能做出離譜的外推；而alpha很低的帕累托可能意味著均值無窮大，這是一個數學信號，表明對該風險而言「預期損失」不是一個穩定有限的量——在定價時面對這一點會讓人清醒。
一家再保險公司為承保超過100萬損失的層級定價。它用形狀參數alpha＝1.5的帕累托擬合大額理賠，發現損失超過500萬的概率大約只比超過100萬小約五倍，而不是薄尾模型給出的那種天文數字般更小的值。由於超過任意門檻的部分仍是帕累托，該層級的預期成本有一個乾淨的解析式。
冪律尾部：把損失規模翻倍，其概率只是略微下降，而非驟減。
如果擬合出的帕累托形狀參數alpha小於等於1，其理論均值為無窮大——這是一個警告，表明對該風險而言「平均損失」不是一個穩定的目標，而且依據有限的尾部數據做外推尤其脆弱。