精算機率論
柏拉圖分布
/ pa-RAY-toh /
柏拉圖分布是當「罕見的巨災損失壓倒其餘一切」時精算師所採用的重尾模型。它是「80-20 法則」背後的數學——即「一小部分事件佔據了總量的大頭」這一觀察。它的尾部衰減得如此緩慢，以致於極大的結果儘管單個看來罕見，卻頻繁到足以主導平均值以及你必須持有的資本。
一種常見形式帶有形狀參數 α（alpha）和尺度參數 θ（theta），其尾部機率 P(X > x) 是以 x 的冪次方式、而非指數方式衰減的。這種冪律衰減是關鍵所在：與常態、甚至與對數常態相比，柏拉圖把多得多的機率分配給極端值。它的尾部如此之重，以致於某些柏拉圖分布變異數無窮大，而若 α ≤ 1，連均值都無窮大——巨災損失大到、又頻繁到足以壓垮任何平均。α 越小，尾部越重，風險越危險。
在保險中，柏拉圖分布是大額理賠、超額損失再保險層、以及巨災和責任險敞口的標準嚴重度模型——凡是少數損失令其餘相形見絀之處。它之所以寶貴，恰恰因為它拒絕讓你忘記尾部。但必須心懷敬畏地使用它：從有限資料估計 α 是出了名的不穩定，最大的那些損失本質上就稀疏，而一個均值可能根本不存在的模型，要求我們對「任何單一數字能多有把握地概括該風險」保持謙遜。
一家承保 100 萬元以上層級的再保險公司，用柏拉圖分布建模大額火災損失。由於尾部如此之重，把保單限額翻一倍，可能使該層級的預期成本不止翻倍——巨災損失正落在柏拉圖分布把大部分「分量」所放置的遠處。
柏拉圖分布的冪律尾部，專為建模那些主導帳單的罕見損失而生。
形狀 α ≤ 1 的柏拉圖分布沒有有限均值，α ≤ 2 則沒有有限變異數——來自這類資料的樣本平均看似穩定，卻會在巨災損失到來時猛然跳變，所以關於「平均值」的尋常直覺可能嚴重誤導。
又稱
另見