對數常態分布

對數常態分布描述的是這樣一個取正值的量：它的對數服從常態分布。說白了：當許多微小的效應是相乘而非相加地疊加在一起時，你得到的就是它。加性的噪聲堆疊成對稱的鐘形，而乘性的效應則堆疊成一條右偏的曲線，它在左側緊貼零、在右側延展出一條長長的尾巴——這正是如此多真實理賠金額、收入和股價的形狀。

如果你取一個對數常態變數的自然對數，會得到一個具有某個均值 μ 和標準差 σ 的普通常態分布——這兩個數就是對數常態分布的參數。由於這層指數聯繫，它的均值是 e^(μ + σ^2/2)，明顯高於它的中位數 e^μ，二者之間的差距正是其偏度的標誌。這個分布始終取正值，在一個不大的值處達到峰值，然後緩緩拖尾，所以它很容易產生偶爾出現的、常態分布會認為幾乎不可能的極大結果。

對數常態分布是保險中使用最廣泛的嚴重度分布之一：理賠金額，尤其是在責任險和財產險業務線上，常常是對數常態的，因為損失往往以乘性方式累積（蔓延的火災、成本層層疊加的傷害）。它也是金融數學中資產價格和投資回報的標準模型，支撐著選擇權定價和變額年金保證的建模。它的右偏和比常態更肥的尾部，使它在捕捉「出現大額損失的機率」方面遠比常態安全——儘管對於最極端的尾部，柏拉圖分布可以更重。