伽瑪分布

伽瑪分布是一個靈活的、取正值的、右偏的分布族，是精算師處理「中等偏重的理賠金額和等待時間」的首選。想像的不是「到第一次事件為止的等待」，而是「到第三次或第五次為止的等待」——也就是若干個指數等待時間的總和。這個總和服從伽瑪分布，通過調節它的形狀，它可以呈現陡峭的早期尖峰、平緩的隆起，甚至近乎鐘形。

它有兩個參數，通常是形狀 α（alpha）和尺度 θ（theta）。均值是 αθ，變異數是 αθ^2。當形狀 α 等於 1 時，伽瑪分布退化為普通的指數分布；當 α 變大時，伽瑪分布開始像常態曲線。把 α 個各自均值為 θ 的相互獨立指數等待相加，就得到一個伽瑪分布——這正是為什麼它天然地建模「累積的時間」或「累積的嚴重度」。它始終位於正半軸，這與「永不為負」的理賠金額相吻合。

在實務中，伽瑪分布是「偏斜但尾部並不極重」的理賠金額常用的嚴重度分布，也是許多用於定價的廣義線性模型首選的響應分布。不過它的明星配角身份，是充當把卜瓦松變成負二項的混合分布：讓每個投保人的卜瓦松理賠率按伽瑪分布變化，恰好產生真實投資組合中所見的過度離散計數。然而，對於最極端的尾部——最大的巨災損失——伽瑪分布太輕，此時更宜採用柏拉圖分布或對數常態分布。