負二項分布

負二項分布是當理賠次數比卜瓦松所能捕捉的更加分散時，精算師轉而求助的計數分布。卜瓦松堅持變異數等於均值，但現實世界的理賠次數往往波動得多得多——有些投保人就是比別人風險更高。負二項分布優雅地允許變異數超過均值，因而成為「過度離散計數」的標準模型。

它可以從兩條路徑得到，這也是它魅力的一部分。在經典意義上，它計的是「在重複的相互獨立試驗中、第 r 次成功之前的失敗次數」。但精算師鍾愛的版本來自「混合」：取一個其速率 λ 本身就隨機、並按伽瑪分布在各投保人之間變化的卜瓦松分布，得到的計數就是負二項分布。這個「卜瓦松-伽瑪混合」刻畫了「總體是高風險與低風險個體的混合」這一思想。它的均值是 rβ，變異數是 rβ(1+β)，由於 β > 0，變異數總是大於均值。

在一般保險中，負二項分布往往是更好的頻率模型，恰恰因為它容許異質性：並非每個司機、每戶家庭、每家企業都帶有相同的潛在理賠率。它是與 Panjer 遞推一起用來構建總損失分布的 (a,b,0) 類成員，其額外的靈活性通常能比卜瓦松給出更現實——也更審慎——的「出現理賠沉重年份」的機率估計。