卜瓦松分布

卜瓦松分布計數的是：在一段固定的時間或空間裡，發生了多少次稀有而相互獨立的事件——當每一次單獨的機會都微乎其微、但機會的總數非常多時。一個月內有多少筆理賠報到保險公司？一小時內有多少通電話打進呼叫中心？一本厚書裡溜進了多少個錯字？當事件以穩定的平均速率冒出來、彼此又不相互協調時，它們的次數往往服從卜瓦松分布。

它只有一個參數 λ（lambda），即該時段內預期發生的平均事件數。恰好發生 k 次事件的機率是 e^(-λ) · λ^k / k!。一個醒目又便利的特性是：它的均值與變異數都等於 λ。所以如果你平均每天預期 3 筆理賠，變異數也是 3，標準差約為 1.73。卜瓦松分布是二項分布在「n 極大、p 極小、但 np = λ 保持適中」時的極限——許多條生命，每條出險機率都很小。

卜瓦松分布是一般保險中理賠頻率建模的主力。它是集合風險模型與複合卜瓦松總損失模型中天然的計數分布，也是破產理論的核心。它「均值等於變異數」的便利性質同時也是其主要弱點：真實的理賠次數往往比卜瓦松所允許的更加多變（過度離散），而這正是負二項分布被發明出來要填補的缺口。