動差生成函數
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動差生成函數是一個巧妙的單一函數，把一個分布的所有動差都打包進一個表達式裡，隨用隨取。你不必一個接一個地、痛苦地做積分去算均值、變異數、偏度等等，而是只構造一次動差生成函數，然後用一個簡單的操作把每一個動差讀出來。它就像是一個分布各階動差的數學壓縮包。
動差生成函數定義為 M(t) = E[e^(tX)]，即 e 的 t 乘 X 次方的期望值，被當作輔助變數 t 的函數。它的魔力有兩重。其一，在 t = 0 處求導便產生各階動差：一階導數給出 E[X]，二階導數給出 E[X^2]，依此類推。其二，也更有用：動差生成函數唯一地確定一個分布——若兩個隨機變數的動差生成函數相同，它們的分布就相同。這使動差生成函數成為證明「獨立隨機變數之和長什麼樣」的首選工具，因為「和」的動差生成函數恰好是各個動差生成函數的乘積。
對精算師而言，動差生成函數是總損失模型背後的引擎。要求出總理賠的分布——理賠次數是隨機的、每筆金額又是隨機的——用動差生成函數（或與之密切相關的機率生成函數、特徵函數）往往遠比直接處理密度容易。動差生成函數也支撐著一些優雅的證明，比如「獨立卜瓦松之和仍是卜瓦松」、「常態之和仍是常態」，這些結論讓精算師能把多個風險組合起來，而無需從頭把一切重新推導一遍。
如果 X 與 Y 是相互獨立的理賠次數，動差生成函數分別為 M_X(t) 與 M_Y(t)，那麼它們之和的動差生成函數就是乘積 M_X(t)·M_Y(t)。對兩個獨立卜瓦松而言，這個乘積本身就是一個卜瓦松的動差生成函數——由此證明合併後的次數仍服從卜瓦松分布。
獨立變數之和的動差生成函數，等於它們各自動差生成函數的乘積。
動差生成函數並不總是存在——像對數常態分布和許多柏拉圖分布這樣的重尾分布沒有動差生成函數，因為 E[e^(tX)] 是無窮大，所以精算師常退而使用始終存在的特徵函數。