中央極限定理

中央極限定理是全部機率論中最令人驚訝、也最有用的事實之一：把大量相互獨立的隨機部件加起來或取平均，結果看上去就像一條常態鐘形曲線——無論各個部件原本是什麼形狀。這些部件可以是偏斜的、塊狀的、離散的、醜陋的；可一旦數量足夠多，它們的和就平滑成那條熟悉的對稱鐘形。這正是常態分布無處不在的原因。

確切地說，如果你把許多各自具有有限均值和變異數的相互獨立隨機變數加起來，那麼這個和（或它們的平均）的分布會隨數量增長而趨近常態分布。和的均值是各個均值之和，和的變異數是各個變異數之和（在獨立時）。所以儘管沒有哪一張保單的損失是常態的，一個龐大業務組合的總損失卻趨向常態，其均值和離散程度都可以通過簡單相加算出。寥寥幾項還不夠；相互獨立的部件堆得越多，近似越好；當部件非常偏斜時，收斂得更慢。

對精算師而言，中央極限定理是從紛亂的個體風險通往可處理的組合總額的橋樑。它為「把總理賠——許多小額損失之和——近似為常態」提供了依據，而這又支撐著實用的資本計算、二項與卜瓦松的常態近似，以及許多信賴區間和破產公式。但它的警告至關重要：它對分布中心的刻畫遠勝於對尾部的刻畫，而且它需要有限變異數和真正的獨立性。對於重尾損失（類柏拉圖）或相關的巨災風險，常態近似可能危險地低估恰恰是保險公司最需要算準的那些極端結果。