指數分布

指數分布建模的是「到下一次隨機事件為止的等待時間」，前提是這些事件以穩定的平均速率到來。到下一筆理賠還要多久？到機器故障還要多久？如果事件以卜瓦松方式發生——速率恆定、彼此獨立——那麼它們之間的時間間隔就服從指數分布。它是幾何分布的連續孿生兄弟。

它只有一個速率參數 λ（lambda）；等價地，平均等待時間為 1/λ。它的密度呈指數式衰減：短等待最可能，長等待迅速變得越來越罕見，但永不至於不可能。它的決定性性質是無記憶性——它是唯一具有此性質的連續分布。一個已經運行了 10 小時的部件，其未來的故障前景與全新部件完全相同；過去不留任何痕跡。用數學表達：P(在已等待 s 的條件下還要等超過 s+t) = P(還要等超過 t)。

精算師把指數分布用作「到理賠/到故障為止的時間」的初始模型，以及理賠金額最簡單的嚴重度分布。它的無記憶性對應於恆定的死亡力或恆定的風險率（hazard rate）——一個讓數學整潔的工整假設。但同樣這個性質在實務中往往是它的敗筆：真實的壽命、機器和保單幾乎總會老化，故障率隨時間上升，而這是指數分布無法表示的。這恰恰是允許風險率變化的韋伯分布和伽瑪分布存在的原因。