幾何分布

幾何分布回答一個「等待」的問題：到第一次成功為止需要試多少次？一直擲骰子直到擲出一個六——要擲幾次？一直賣保單直到有一張退保——要賣幾張？「到第一次成功為止（含這一次）的嘗試次數」（或「在它之前的失敗次數」）服從幾何分布。它是「耐心」的分布。

它只有一個參數 p，即每次相互獨立試驗的成功機率。第一次成功出現在第 k 次試驗的機率是 (1-p)^(k-1) · p——你需要 k-1 次失敗、然後一次成功。平均試驗次數是 1/p（如果成功機率是五分之一，你平均要等 5 次），變異數是 (1-p)/p^2。它的標誌性性質是無記憶性：已經經歷了許多次失敗，並不會改變你還要再等多久——這個過程對過去毫無記憶。它是指數分布的離散表親。

每當精算師以整數步長為「到事件發生為止的時間」建模時，就會遇到幾何分布：一張保單退保前存續的年數、到出險為止的期數、某個狀態切換前的持續長度。在獎懲（Bonus-Malus）或無賠款優待系統中，連續無理賠年數就帶有幾何分布的味道。它的無記憶性是一個很強、有時並不現實的假設——現實中退保率和理賠率往往隨保單年齡而變，所以樸素的幾何分布是一個起點模型，而非最終模型。