二項分布

二項分布計數的是：當你把同一個「是或否」試驗重複固定次數時，能得到多少次成功。擲一枚均勻硬幣 10 次：有幾次正面？為 1000 條相同的生命承保：今年有幾人死亡？每當你有固定次數的相互獨立試驗、每次成功機率都相同時，成功的次數就服從二項分布。

它有兩個參數：n，試驗次數；p，每次的成功機率。恰好得到 k 次成功的機率是 C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k)，其中 C(n,k) 計的是「從 n 次試驗中挑出哪 k 次成功」的方式數。它的均值是 np（平均而言，這個比例的試驗會成功），變異數是 np(1-p)。二項分布不過是 n 個相互獨立的白努利試驗之和，這正是為什麼它的均值和變異數恰好是白努利的 n 倍。

二項分布是「一個封閉的、相似且相互獨立的風險群在單期內」的天然模型：一批保單中的死亡數、一個貸款池中的違約數、一組固定被保險人中的理賠數。精算師用它來求「理賠數超過某一水平的機率」，這又餵入資本與再保險決策。它的關鍵假設——固定的 n、恆定的 p、相互獨立——同時也是它的局限：當 p 在各條生命之間變化，或在險人數本身就不確定時，你就要轉而求助於卜瓦松分布或負二項分布。