負二項頻率模型

假設你對汽車理賠試用了泊松模型，卻發現它總是低估糟糕年份、高估平靜年份——真實件數的擺動比泊松允許的更劇烈。原因通常是司機並非千篇一律：大多數人小心，少數人魯莽，而你事先並不知道誰是誰。負二項頻率模型恰好刻畫了這種額外的離散。

看清它最乾淨的方式是：設想每位保單持有人都有自己的泊松速率lambda，但lambda本身因人而異、服從一個伽馬分布（謹慎者lambda小，魯莽者lambda大）。對這種隱藏的差異取平均，所得的件數分布就是負二項分布。它的關鍵特徵是方差大於均值——即過度離散——由一個額外的形狀參數控制。當該參數變大時，負二項趨近泊松；把它調小，高件數的尾部就變得更重。

實務中，只要理賠件數表現出泊松無法解釋的更大變動性，負二項就是首選的升級方案，而風險異質的真實業務大多如此。它屬於(a,b,0)類（a為正），因此可以直接套入計算總損失的潘哲遞迴。誠實的提醒是：你數據中的過度離散並不能證明負二項就是「真相」；它只是一種合理的機制（未觀測到的異質性），但理賠的傳染或扎堆同樣會放大方差，優秀的分析師會去檢驗擬合優度，而不是想當然地接受這個故事。