自然對數

正如底 10 給出常用對數，底 e ≈ 2.718 給出自然對數。它回答的是：e 的幾次方等於這個數？因為 e 是連續增長的自然節律，它的對數便成了度量這種增長需時多久的自然工具。

我們把它寫作 ln(x)，是 log_e(x) 的簡寫。所以 ln(x) = y 恰好意味著 e^y = x。它只接受正的輸入，在 x = 1 處等於 0，在 x = e 處等於 1。自然對數是自然指數函數的精確反函數，因此在合法輸入下 ln(e^x) = x 且 e^(ln x) = x。

自然對數是求解連續增長與衰減問題的主力。當一個量遵循 a · e^(kt)，對兩邊取 ln 就能把未知數 t 從指數上拉下來，化為普通的算術。這正是為什麼半衰期和連續利息的公式中佈滿了 ln。