自然指數函數

在所有指數函數 b^x 中，有一個底數太過便利，以至於數學家把它當作預設選擇。這個底數就是數 e ≈ 2.718，而函數 e^x 被稱為自然指數函數，常寫作 exp(x)。它是描述物理、生物和金融中平滑、連續的增長與衰減的那個指數函數。

和所有底數大於 1 的指數函數一樣，e^x 永遠為正、經過 (0, 1)、隨 x 增大而上升，並以 x 軸為左側的水平漸近線。它的特殊之處在於一個微積分性質：e^x 是它自身的導數，也就是說它在任意一點的陡峭程度都等於該點的函數值。沒有別的底數能精確地做到這一點。

實際操作中，任何寫成 a · b^t 的增長或衰減模型都可以改寫成自然形式 a · e^(kt)，其中 k 是單一的速率常數：k > 0 表示增長，k < 0 表示衰減。正是這種統一的形式，使科學家壓倒性地偏好以 e 為底，而非像 1.07 或 0.83 這樣雜亂的底數。