指數函數

想像銀行裡的錢每年按相同的百分比增長，或者一則謠言每天翻一倍地傳播。這個數量不是每一步加上一個固定的數，而是每一步乘以一個固定的倍數。能描述這種反覆相乘的函數，就是指數函數。

正式地說，指數函數的形式為 f(x) = b^x，其中底數 b 是不等於 1 的正常數，而變量 x 位於指數的位置上。這正是它與冪函數（如 x^2）的關鍵區別：冪函數裡變量是底數、指數是固定的。當 x 每增加 1，輸出就乘以 b；若 b > 1，圖形越來越陡地上升，若 0 < b < 1，圖形則向零下降。

每個指數函數 f(x) = b^x 都經過點 (0, 1)，因為對任何允許的底數都有 b^0 = 1。它的輸出永遠是正的，所以圖形永不接觸 x 軸——x 軸是它無限趨近卻永不到達的水平漸近線。我們排除 b = 1（那會得到常數 1）以及 b ≤ 0（那在分數指數下會失效）。