自然邊界條件（natural boundary conditions）
在那些經典問題裡，曲線兩端都被釘住——你指定它從哪裡出發、在哪裡結束。但有時一端或兩端可以自由滑動：想像一根擱在支座上卻沒被夾緊的梁，或一條終點位置你不預先固定的路徑。當你不規定某個邊界值時，變分原理本身就決定那一端該發生什麼。它強加的條件稱為自然邊界條件——「自然」是因為它從數學中自動落出，而非由你規定。
回憶一階變分給出一個內部積分加一個邊界項，形如（dL/dy'）乘 eta 在端點處取值。當端點被釘住時，eta 在那裡為零，邊界項自行消失。但當端點自由時，eta 不再被迫在那裡為零，於是要使整個一階變分為零，邊界項就必須自己為零——這迫使在那個自由端 dL/dy' = 0。那個方程 dL/dy' = 0 就是自然邊界條件。它恰好提供了自由端原本會留下未定的那塊缺失的端點資訊。
從物理上看，自然邊界條件極有意義。對一根垂掛或彎曲的彈性梁，自由端處的自然條件說那裡的彎矩或剪力為零——恰是物理對未受載的自由端所要求的。在斯特姆-劉維爾或極小曲面背景下，它們成為諾伊曼型的「零通量」或「零斜率」條件。誠實的結論：在變分問題中，你不能既在自由端強加邊界條件又讓它保持自由——原理只給你其中之一。被釘住的端給出「本質」（指定值）條件；自由端自動給出自然條件，兩者合起來使問題適定。
在 y(0)=0 但右端 y(1) 自由的條件下，求 從 0 到 1 對 (y'^2 + ...) dx 積分 的極小。一階變分的邊界項是 (dL/dy')|_{x=1} 乘 eta(1)；因 eta(1) 不受限，它必須為零，給出自然條件 dL/dy'|_{x=1} = 0——這裡是 y'(1) = 0。
自由端並不使問題欠定——邊界項在那裡給出 dL/dy' = 0。
你不能既指定一個值又讓一端自由。被釘住的端給出你強加的本質（狄利克雷型）條件；自由端給出由變分替你強加的自然（諾伊曼型）條件——切勿重複施加。