橫截條件（transversality condition）

自然邊界條件處理可上下自由滑動的端。橫截條件處理更豐富的情形：一個不固定、卻必須落在給定曲線或曲面上的端點——比如路徑必須在某條目標線上某處結束，或一艘船須抵達一條移動的海岸線，而確切的登陸點留給最佳化去選。橫截性就是那個額外的方程，可以說，它告訴你最優路徑應以什麼樣的「正確角度」與那個目標相交。

當端點可沿一條約束曲線滑動時，一階變分中的邊界項不再簡單地為零；端點的變分反而與約束曲線的斜率相聯繫。要求總一階變分為零，便產生一個把 L、dL/dy' 與目標曲線在相交點處斜率聯繫起來的關係。那個關係就是橫截條件。在端點只能純豎直移動的特例（目標是一條豎直線，即在固定 x 處取自由值）下，它退化回自然邊界條件 dL/dy' = 0；橫截性是一般的母條件，自然邊界條件是它的特例子。

橫截性在最優控制以及具有自由終端時間或目標集（而非目標點）的問題中不可或缺——從一點到一個圓的最短路徑與該圓垂直相交（弧長的橫截條件字面上就是正交性），而到移動邊界的最短時間軌跡滿足它自己的橫截關係。誠實的表述：單憑內部的歐拉-拉格朗日方程從來不能確定一個變分問題；你總需要正確的邊界資訊，而當端自由或被約束在曲線上時，橫截性正是正確提供它的東西。給它貼錯標籤或遺漏它，是錯誤「最優」路徑的常見來源。