複數乘法

複數相乘就像用 FOIL 法把兩個二項式相乘——逐項相乘，乘遍所有組合——只是末尾多一步：凡出現 i^2 的地方，都替換成 -1。這唯一的替換正是複數乘法與普通代數的全部區別。

展開來算：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2，再用 i^2 = -1 把 bdi^2 變成 -bd，得到 (ac - bd) + (ad + bc)i。乘積的實部是 ac - bd，虛部是 ad + bc。

這裡藏著一個美妙的幾何含義：乘以一個複數會同時拉伸並旋轉整個平面。模相乘，輻角相加，所以 |zw| = |z||w| 且 arg(zw) = arg(z) + arg(w)。例如乘以 i，大小不變，但把一切逆時針旋轉四分之一圈。極坐標形式讓這條規則毫不費力。