虛數單位

虛數單位是一個全新的數，記作 i，它被發明出來是為了回答實數拒絕回答的一個問題：什麼數的平方是負數？沒有任何實數能做到，因為正數乘正數是正數，負數乘負數也是正數。於是數學家乾脆規定了一個新數 i，並賦予它唯一的定義規則：i 乘以 i 等於負一。可以把它看作往數系裡加入的一種全新「配料」，而不是普通數軸上能找到的數。

形式上，i 滿足 i^2 = -1。一切其餘結論都由這條規則推出。i 的冪以四為週期循環：i^1 = i，i^2 = -1，i^3 = -i，i^4 = 1，然後重複。一旦允許使用 i，方程式 x^2 = -1 終於有了解，即 x = i 和 x = -i。

一個常見誤區：人們把 i 寫成 sqrt(-1)，這是個有用的簡寫，但要小心。熟悉的規則 sqrt(a) 乘 sqrt(b) = sqrt(ab) 對負數並不成立，所以寫成 sqrt(-1) 乘 sqrt(-1) = sqrt(1) = 1 是錯的——正確答案是 -1。拿不準時，永遠回到定義規則 i^2 = -1。