積分中值定理

連續曲線在一個區間上的平均高度是積分除以區間長度。積分中值定理說連續函數確實會在某點取到這個平均值:存在一處,曲線的高度等於它自身的平均;於是一個以該高度為高、以區間長度為寬的矩形,其面積恰好等於曲線下方區域的面積。

確切地說,若 f 在 [a, b] 上連續,則存在一點 c 屬於 [a, b],使 f 從 a 到 b 的積分等於 f(c)(b - a)。等價地,f(c) = (1/(b - a)) 乘以 f 在 [a, b] 上的積分,即 f 的平均值。證明把極值定理(f 取得最小值 m 與最大值 M)與對介於 m、M 之間的平均值施用的介值定理結合起來。

這裡連續性是不可或缺的,與黎曼判據不同。僅僅可積的函數不一定取到它的平均——在 0 與 1 之間跳躍的階梯函數平均值為 1/2,卻從不取值 1/2。還有加權版本:若 g >= 0 可積,則 f g 的積分等於 f(c) 乘以 g 的積分(對某個 c),這是泰勒定理餘項估計中用到的工具。